問題4は、$\theta$の動径が第3象限にあり、$\cos\theta = -\frac{12}{13}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求める問題です。 問題5は、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$\sin\theta\cos\theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題4は、$\theta$の動径が第3象限にあり、$\cos\theta = -\frac{12}{13}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求める問題です。

問題5は、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$\sin\theta\cos\theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題4:

* $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$の恒等式を利用して、$\sin\theta$を求めます。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$

* $\theta$は第3象限にあるため、$\sin\theta$は負の値を取ります。したがって、$\sin\theta = -\frac{5}{13}$

* $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$の公式を利用して、$\tan\theta$を求めます。

$\tan\theta = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$

問題5:

* 与えられた式$\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$を2乗します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{3}{4}$

* $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$の恒等式を利用して、$\sin\theta\cos\theta$を求めます。

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

問題4:

$\sin\theta = -\frac{5}{13}$

$\tan\theta = \frac{5}{12}$

問題5:

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{8}$