与えられた図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、線分ADの長さが$\sqrt{6}$、線分CDの長さが$\sqrt{2}$、線分ABの長さが$\sqrt{21}$、$\angle ABC = 45^{\circ}$、$\angle ACB = 60^{\circ}$の情報が与えられています。また、線分ACの長さを $a$ としています。

1. 問題の内容

与えられた図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、線分ADの長さが$\sqrt{6}$、線分CDの長さが$\sqrt{2}$、線分ABの長さが$\sqrt{21}$、$\angle ABC = 45^{\circ}$、$\angle ACB = 60^{\circ}$の情報が与えられています。また、線分ACの長さを $a$ としています。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$に着目します。$\angle BAC$の角度を求めます。三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので、

$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ}$となります。

次に、$\triangle ABC$において、正弦定理を用いて線分ACの長さ$a$を求めます。正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$

$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{21}}{\sin 60^{\circ}}$

$a = \frac{\sqrt{21} \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{21} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{14}$

よって、$a = \sqrt{14}$となります。

次に、$\triangle ADC$に着目します。余弦定理を用いて、$\angle ADC$を求めます。$\angle ADC$を$\theta$とすると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \theta$

$(\sqrt{14})^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos \theta$

$14 = 6 + 2 - 2 \sqrt{12} \cos \theta$

$14 = 8 - 4\sqrt{3} \cos \theta$

$6 = -4\sqrt{3} \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{6}{4\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となるのは、$\theta = 150^{\circ}$のときです。

したがって、$\angle ADC = 150^{\circ}$となります。

3. 最終的な答え

$\angle D = 150^{\circ}$