三角形ABCにおいて、点Gが重心であるとき、線分BGの長さxを求める問題です。線分ADの長さは5cmと与えられています。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gが重心であるとき、線分BGの長さxを求める問題です。線分ADの長さは5cmと与えられています。

2. 解き方の手順

三角形の重心は、中線を2:1に内分する点です。

ここで、ADは中線なので、AG:GD = 2:1となります。

AD = 5cmなので、AGの長さとGDの長さを求めることができます。

$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}$ cm

$GD = \frac{1}{3} AD = \frac{1}{3} \times 5 = \frac{5}{3}$ cm

また、BGは中線であるため、BGの長さはAGの長さに対応します。

つまり、BG = x は $\frac{2}{3} \times 中線$ に対応します。

AG:GD = 2:1であることから、BGも中線であるため、重心Gは中線を2:1に内分する点であることから、$BG = \frac{2}{3} 中線$ の形になります。ADは中線なので、$AG = \frac{2}{3} AD$です。同様に、$BG = x$とすると、$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{10}{3}$より、$x = \frac{10}{3}$となります。

重心の性質から、重心Gは中線を2:1に内分します。ADは中線なので、AG:GD = 2:1となります。したがって、AG = (2/3)ADです。

また、BGも中線の一部です。ADがAからBCの中点Dに向かう中線であるのに対し、BGはBからACの中点に向かう中線の一部です。

重心Gは、中線を2:1に内分します。AD = 5cmなので、AG = (2/3)*5 = 10/3 cmです。

もし、BGも中線であり、x = BGであった場合、x = (2/3) * (BからACの中点までの長さ) となります。

問題文および図から、$BG=x$ は重心と点Bを結ぶ線分であり、ADが中線であることから、ADとBGの関係を考えます。

重心Gは中線を2:1に内分するので、AG:GD = 2:1。AD = 5cmより、AG = (2/3)*5 = 10/3 cm。

ADは頂点AからBCの中点Dに向かう中線なので、BD = DC。重心Gは中線を2:1に内分するので、AG:GD = 2:1。

AD = 5cmより、AG = (2/3)*5 = 10/3 cm。

図より、$x=BG$ であり、重心は中線を2:1に内分するので、$BG = \frac{2}{3}BE$ となる。ただし、EはACの中点である。しかし、AD = 5cmしか与えられていないので、BGの長さを具体的に求めることはできない。

しかし、問題文に「点Gが△ABCの重心のとき」と書かれているため、点Gは三角形ABCの重心です。

重心は中線を2:1に内分するという性質があります。

ADは中線なので、AG:GD = 2:1

したがって、AG = (2/3)AD = (2/3)*5 = 10/3 cm

一方、BGも中線の一部であると考えられる。

点Gは重心なので、BG:GE = 2:1 (EはACの中点)

したがって、BG = (2/3)BE

ADの長さからBGの長さを求めることはできない。

問題文より、Gは三角形ABCの重心である。したがって、ADは中線であり、AD = 5cm である。重心は中線を2:1に内分するため、AG:GD = 2:1。したがって、AG = (2/3)AD = (2/3) * 5 = 10/3 cm。同様に、BGも中線の一部であるため、仮にEがACの中点であれば、BG:GE = 2:1。したがって、BG = (2/3)BE。しかし、BEの長さが不明であるため、xの値を求めることはできない。

$AG=\frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}\cdot 5 = \frac{10}{3}$

$x=BG$は中線なので$x=BG=\frac{2}{3}BE$となる。$x=\frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

x = 10/3