関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y=ax^2$ のグラフは原点を通る放物線である。$x$ の変域に 0 が含まれているので、$y$ の最小値は 0 となる。

問題文より、$y$ の最大値は 12 である。

$a > 0$ のとき、区間 $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ における $y$ の最大値は、$x = -2$ のとき $y = a(-2)^2 = 4a$ となる。

$a < 0$ のとき、区間 $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ における $y$ の最大値は、$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = a(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}a$ となる。

$a>0$ の場合、$4a = 12$ より $a = 3$。このとき、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ における $y$ の最大値は $3(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$となる。

$a<0$ の場合、$\frac{1}{4}a = 12$ より $a = 48$ となる。これは $a<0$ に矛盾する。

したがって、$a=3$ が求める答えである。

3. 最終的な答え

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