$(3x+2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x+2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を考えます。

$(a+b)^n$ の展開式の一般項は、

$_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}$

です。

今回の問題では、

$(3x+2y)^5$ の展開式における一般項は、

$_{5}C_{r}(3x)^{5-r}(2y)^{r}$

です。

$x^2y^3$ の項を考えるので、

$5-r = 2$ かつ $r = 3$

となる必要があります。

したがって、$r=3$ を一般項に代入すると、

$_{5}C_{3}(3x)^{5-3}(2y)^{3} = _{5}C_{3}(3x)^{2}(2y)^{3}$

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(3x)^2 = 9x^2$

$(2y)^3 = 8y^3$

なので、

$_{5}C_{3}(3x)^{2}(2y)^{3} = 10 \times 9x^2 \times 8y^3 = 10 \times 9 \times 8 \times x^2y^3 = 720x^2y^3$

したがって、$x^2y^3$ の項の係数は $720$ となります。

3. 最終的な答え

720