級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求めよ。

1. 問題の内容

級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求めよ。

2. 解き方の手順

ダランベールの収束判定法を利用して、収束半径 $R$ を求める。

まず、$a_n = \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ とおく。

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ を計算する。

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{\frac{(2(n+1))^{n+1}}{(n+1)!}x^{n+1}}{\frac{(2n)^n}{n!}x^n}\right| = \left|\frac{(2n+2)^{n+1} n! x^{n+1}}{(n+1)! (2n)^n x^n}\right| = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(2n)^n} \frac{n!}{(n+1)!} |x| = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(2n)^n} \frac{1}{n+1} |x|$

$= \frac{(2(n+1))^n (2(n+1))}{(2n)^n (n+1)} |x| = \frac{2^{n+1} (n+1)^n (n+1)}{2^n n^n (n+1)} |x| = 2 \frac{(n+1)^n}{n^n} |x| = 2 \left(\frac{n+1}{n}\right)^n |x| = 2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n |x|$

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} 2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n |x| = 2 e |x|$

収束するためには、$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ である必要があるので、

$2e |x| < 1$

$|x| < \frac{1}{2e}$

したがって、収束半径 $R$ は $R = \frac{1}{2e}$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2e}$