曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から、点 $(0, 18)$ に引かれた接線の方程式と、接点の座標を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から、点 $(0, 18)$ に引かれた接線の方程式と、接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおく。

次に、曲線を微分して、接線の傾きを求める。

$y' = 3x^2$

接点における接線の傾きは $3t^2$ となる。

接線の方程式は、点 $(t, t^3 + 2)$ を通り、傾きが $3t^2$ であるから、

$y - (t^3 + 2) = 3t^2(x - t)$

$y = 3t^2x - 3t^3 + t^3 + 2$

$y = 3t^2x - 2t^3 + 2$

この接線が点 $(0, 18)$ を通るので、これを代入すると、

$18 = 3t^2 \cdot 0 - 2t^3 + 2$

$18 = -2t^3 + 2$

$2t^3 = -16$

$t^3 = -8$

$t = -2$

したがって、接点の座標は $(-2, (-2)^3 + 2) = (-2, -8 + 2) = (-2, -6)$ となる。

接線の傾きは $3t^2 = 3(-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$ である。

接線の方程式は、

$y = 12x - 2(-2)^3 + 2$

$y = 12x - 2(-8) + 2$

$y = 12x + 16 + 2$

$y = 12x + 18$

3. 最終的な答え

接点の座標：$(-2, -6)$

接線の方程式：$y = 12x + 18$