与えられた関数 $f(x) = x^3 \sin(x) \cos(x)$ の不定積分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 \sin(x) \cos(x)$ の不定積分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(x)\cos(x)$ を $\frac{1}{2}\sin(2x)$ に置き換えます。

$f(x) = x^3 \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} x^3 \sin(2x)$

次に、不定積分 $\int f(x) dx = \int \frac{1}{2} x^3 \sin(2x) dx$ を部分積分を用いて計算します。部分積分は $\int u dv = uv - \int v du$ で表されます。

$u = x^3$, $dv = \sin(2x) dx$ とすると、 $du = 3x^2 dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ となります。

$\int \frac{1}{2} x^3 \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \left( x^3 \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) - \int \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) 3x^2 dx \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}x^3 \cos(2x) + \frac{3}{2} \int x^2 \cos(2x) dx \right)$

$= -\frac{1}{4}x^3 \cos(2x) + \frac{3}{4} \int x^2 \cos(2x) dx$

次に $\int x^2 \cos(2x) dx$ を計算します。$u = x^2$, $dv = \cos(2x) dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = \frac{1}{2}\sin(2x)$ となります。

$\int x^2 \cos(2x) dx = x^2 \left(\frac{1}{2}\sin(2x) \right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) (2x) dx$

$= \frac{1}{2}x^2 \sin(2x) - \int x \sin(2x) dx$

さらに $\int x \sin(2x) dx$ を計算します。$u = x$, $dv = \sin(2x) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ となります。

$\int x \sin(2x) dx = x \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) - \int -\frac{1}{2}\cos(2x) dx$

$= -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) dx$

$= -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin(2x) \right)$

$= -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)$

よって、

$\int x^2 \cos(2x) dx = \frac{1}{2}x^2 \sin(2x) - \left( -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) \right)$

$= \frac{1}{2}x^2 \sin(2x) + \frac{1}{2}x \cos(2x) - \frac{1}{4}\sin(2x)$

したがって、

$\int \frac{1}{2} x^3 \sin(2x) dx = -\frac{1}{4}x^3 \cos(2x) + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2}x^2 \sin(2x) + \frac{1}{2}x \cos(2x) - \frac{1}{4}\sin(2x) \right) + C$

$= -\frac{1}{4}x^3 \cos(2x) + \frac{3}{8}x^2 \sin(2x) + \frac{3}{8}x \cos(2x) - \frac{3}{16}\sin(2x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4}x^3 \cos(2x) + \frac{3}{8}x^2 \sin(2x) + \frac{3}{8}x \cos(2x) - \frac{3}{16}\sin(2x) + C$