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$x, y$ が実数のとき、不等式 $x^2 + 9y^2 \ge 6xy$ を証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める問題です。穴埋め形式で証明が与えられています。

代数学不等式平方完成実数等号条件
2025/4/5

1. 問題の内容

x,yx, y が実数のとき、不等式 x2+9y2≥6xyx^2 + 9y^2 \ge 6xy を証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める問題です。穴埋め形式で証明が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、x2−6xy+9y2x^2 - 6xy + 9y^2 を平方完成します。
x2−6xy+9y2=(x−3y)2x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2
よって、「ヌ」には3が入り、(x−3y)2 (x - 3y)^2 となります。
二乗は常に0以上なので、(x−3y)2≥0 (x - 3y)^2 \ge 0 が成り立ちます。よって、「ネ」には0が入ります。
したがって、x2+9y2≥6xyx^2 + 9y^2 \ge 6xy が証明されました。
等号が成り立つのは、(x−3y)2=0(x - 3y)^2 = 0 のとき、つまり x−3y=0x - 3y = 0 のときです。
よって、「ノ」には3が入ります。
したがって、x=3yx = 3y のとき等号が成り立ちます。よって、「ハ」には3が入ります。

3. 最終的な答え

ヌ：3
ネ：0
ノ：3
ハ：3

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