点Oが三角形ABCの外心であるとき、$∠OAB = 10°$、$∠OCB = 60°$である。$∠OAC = α$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、$∠OAB = 10°$、$∠OCB = 60°$である。$∠OAC = α$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の外心は、三角形の各頂点からの距離が等しい点である。したがって、$OA = OB = OC$。

これにより、三角形OABと三角形OBCは二等辺三角形になる。

三角形OABについて、$OA = OB$なので、$∠OBA = ∠OAB = 10°$。

三角形OBCについて、$OB = OC$なので、$∠OBC = ∠OCB = 60°$。

三角形ABCの内角の和は180°なので、$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°$。

$∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = 10° + α$

$∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = 10° + 60° = 70°$

$∠BCA = ∠OCB + ∠OCA$

ここで、$∠OCA = α$であることを示す。

$OA = OC$なので、三角形OACは二等辺三角形。したがって、$∠OAC = ∠OCA = α$。

したがって、$∠BCA = 60° + α$。

三角形ABCの内角の和の式に代入すると、

$(10° + α) + 70° + (60° + α) = 180°$

$10° + α + 70° + 60° + α = 180°$

$2α + 140° = 180°$

$2α = 40°$

$α = 20°$

3. 最終的な答え

$\alpha = 20°$