池の周囲に幅2mの道がついている。道の面積を$S$、道のまん中を通る線の長さを$l$とする。$S$を$a$と$r$で表し、$l$を$a$と$r$で表し、$S$と$l$の関係式を求める。

1. 問題の内容

池の周囲に幅2mの道がついている。道の面積を$S$、道のまん中を通る線の長さを$l$とする。$S$を$a$と$r$で表し、$l$を$a$と$r$で表し、$S$と$l$の関係式を求める。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を求める。

道の全体の面積は、半径$r+2$の円の面積と、幅$a+4$、長さ$2r+4$の長方形の面積の和である。池の面積は、半径$r$の円の面積と、幅$a$、長さ$2r$の長方形の面積の和である。道の面積は、全体の面積から池の面積を引けば求まる。

全体の面積は

$\pi (r+2)^2 + (a+4)(2r+4) = \pi (r^2+4r+4) + 2ar + 4a + 8r + 16$

池の面積は

$\pi r^2 + 2ar$

道の面積$S$は

$S = (\pi r^2+4\pi r+4\pi + 2ar + 4a + 8r + 16) - (\pi r^2 + 2ar)$

$S = 4\pi r + 4\pi + 4a + 8r + 16$

$S = (4\pi + 8)r + 4a + 4\pi + 16$

次に、道のまん中を通る線の長さ$l$を求める。道のまん中を通る線は、半径$r+1$の円の円周と、幅$a+2$、長さ$2r+2$の長方形の周の半分である。

$l = 2\pi (r+1) + 2(a+2) + 2(r+1)$

$l = 2\pi r + 2\pi + 2a + 4 + 2r + 2$

$l = (2\pi + 2)r + 2a + 2\pi + 6$

最後に、$S$と$l$の関係式を求める。

$S = 2l + 4a + 4\pi + 16 - 4\pi - 4r - 4a - 2\pi - 12$

$S=2l + (4\pi+8) + 4\pi + 16 - 2((2\pi + 2)r + 2a + 2\pi + 6)$

$S = 2l - 4a - 8\pi - 12 + 4\pi + 16+ 4a + 8r + 16$

$l = (\pi+1)r + a + \pi + 3$

$2l = (2\pi+2)r + 2a + 2\pi + 6$

$S = 4\pi r + 4\pi + 4a + 8r + 16$

$S = 4(\pi+2)r + 4a + 4\pi + 16$

$4S = 2(2\pi+4)r + 4a + 4\pi + 16$

$S = 4r \pi + 8r + 4a + 4 \pi + 16$

$l = 2 r \pi + 2r + 2a + 2 \pi + 6$

$2l = 4 r \pi + 4r + 4a + 4 \pi + 12$

$S = 2l + 4r + 4$

$S = 2 l + 2\pi \pi r + 2 \pi+ 2 r +4$

$S-2l = 4\pi + 4\pi+4$

3. 最終的な答え

X: $(4\pi + 8)r + 4a + 4\pi + 16$

Y: $(2\pi + 2)r + 2a + 2\pi + 6$

Z: $S = 2l + 4r + 4$