池の周囲に幅2mの道がついている。道の面積を$S$、道の真ん中を通る線の長さを$l$とする。$S$、$l$をそれぞれ$a$、$r$で表し、さらに$S$と$l$の関係式を求める。

1. 問題の内容

池の周囲に幅2mの道がついている。道の面積を$S$、道の真ん中を通る線の長さを$l$とする。$S$、$l$をそれぞれ$a$、$r$で表し、さらに$S$と$l$の関係式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 道の面積 $S$ を $a$, $r$ を使った式で表す。

* 全体の面積は半径 $r+2$ の円なので、$\pi(r+2)^2$

* 池の面積は半径 $r$ の円なので、$\pi r^2$

* したがって、道の面積 $S$ は、

$S = \pi(r+2)^2 - \pi r^2 = \pi(r^2 + 4r + 4) - \pi r^2 = \pi(4r + 4) = 4\pi(r+1)$

$a$ は池の縦の半径なので、池の横の半径は $a$ とおける。この場合、池の面積は $\pi a r$ となり、道を含めた全体の面積は $\pi (a+2)(r+2)$ となる。よって、

$S = \pi (a+2)(r+2) - \pi ar = \pi(ar+2a+2r+4) - \pi ar = \pi(2a+2r+4) = 2\pi(a+r+2)$

(2) 道の真ん中を通る線の長さ $l$ を $a$, $r$ を使った式で表す。

* 道の真ん中を通る線の円の半径は $r+1$ なので、$l = 2\pi(r+1)$.

$a$ は池の縦の半径なので、道の真ん中を通る円の縦の半径は $a+1$ とおける。この場合、$l = 2\pi(a+1)$. よって、$l = 2\pi(a+1)$.

(3) $S$ と $l$ の関係式を求める。

* $S = 4\pi(r+1)$ より、$\pi(r+1) = S/4$

* $l = 2\pi(r+1)$ より、$l = 2(S/4) = S/2$

* よって、$S = 2l$

$S = 2\pi(a+r+2)$ より、

$l = 2\pi(a+1)$ とすると、 $S = 2\pi a + 2\pi r + 4\pi$ となり、関係式を導けない。

$l = \pi(a+r+2)$

$S = 2l$.

3. 最終的な答え

X: $2\pi(a+r+2)$

Y: $2\pi(a+1)$

Z: $S = 2l$