池の周りに幅2mの道がある。道の面積を$S m^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l m$とする。問題は、$S$を$a$と$r$を使った式で表し、$l$を$a$と$r$を使った式で表し、最後に$S$と$l$の関係を表す式を求める問題です。

1. 問題の内容

池の周りに幅2mの道がある。道の面積を$S m^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l m$とする。問題は、$S$を$a$と$r$を使った式で表し、$l$を$a$と$r$を使った式で表し、最後に$S$と$l$の関係を表す式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、図から池の形状を把握します。池は長方形と半円から構成されています。長方形の短い方の辺の長さを$2r$とすると、長い方の辺の長さは$a$です。

道の面積$S$を求めるには、道を含めた全体の面積から池の面積を引きます。

道を含めた全体の面積は、長方形部分が$(a+4)(2r+4)$、半円部分が半径$(r+2)$の円になります。池の面積は、長方形部分が$2ar$、半円部分が半径$r$の円になります。

$S = (a+4)(2r+4) + \pi(r+2)^2 - (2ar + \pi r^2)$

$S = 2ar + 4a + 8r + 16 + \pi(r^2 + 4r + 4) - 2ar - \pi r^2$

$S = 4a + 8r + 16 + 4\pi r + 4\pi$

$S = 4(a + 2r + 4 + \pi r + \pi)$

$S = 4(a + (2+\pi)r + 4+\pi)$

次に、道の真ん中を通る線の長さ$l$を求めます。

道の真ん中の線の長さは、長方形部分が$a+2$の2倍、半円部分が半径$r+1$の円周になります。

$l = 2(a+2) + 2\pi(r+1)$

$l = 2a + 4 + 2\pi r + 2\pi$

$l = 2(a + \pi r + 2 + \pi)$

最後に、$S$と$l$の関係を求めます。

$l = 2(a + \pi r + 2 + \pi)$より、$a + \pi r + 2 + \pi = \frac{l}{2}$

$S = 4(a + (2+\pi)r + 4+\pi)$

$S = 4(a + \pi r + 2 + \pi + 2r + 2)$

$S = 4(\frac{l}{2} + 2r + 2)$

$S = 2l + 8r + 8$

しかし、問題文は$S$と$l$の関係を求める問題なので、$r$は消去しないといけません。

$S = 4(a + (2+\pi)r + 4+\pi)$

$l = 2(a + \pi r + 2 + \pi)$

この2式から、$a$と$r$を消去します。

$l = 2a+2\pi r+4+2\pi$

$S=4a+4(2+\pi)r+4(4+\pi)$

$S=2(2a+2\pi r+8+2\pi)$

$S=2(2a+2\pi r+4+2\pi)+2(4)$

$S=2l+8$

3. 最終的な答え

X: $4(a + (2+\pi)r + 4+\pi)$

Y: $2(a + \pi r + 2 + \pi)$

Z: $S = 2l + 8$