池の周囲に幅2mの道がある。道の面積を$S$、道の真ん中を通る線の長さを$l$とする。 (1) $S$を$a, r$で表す。 (2) $l$を$a, r$で表す。 (3) $S$と$l$の関係式を求める。 ただし、$a$は池の幅、$r$は池の半径(池が楕円なので正確には半径ではないが、図からそう解釈できる)を表す。

幾何学面積楕円周の長さ数式変形
2025/8/5

1. 問題の内容

池の周囲に幅2mの道がある。道の面積をSS、道の真ん中を通る線の長さをllとする。
(1) SSa,ra, rで表す。
(2) lla,ra, rで表す。
(3) SSllの関係式を求める。
ただし、aaは池の幅、rrは池の半径(池が楕円なので正確には半径ではないが、図からそう解釈できる)を表す。

2. 解き方の手順

(1) 道の面積SSを求める。
道の外側の長方形の面積から池の面積を引くことで求められる。道の外側の長方形の幅はa+4a+4、半径はr+2r+2である。よって、
S=(a+4)π(r+2)aπrS = (a+4)\pi(r+2) - a\pi r
S=aπr+2aπ+4πr+8πaπrS = a\pi r + 2a\pi + 4\pi r + 8\pi - a\pi r
S=2aπ+4πr+8πS = 2a\pi + 4\pi r + 8\pi
S=π(2a+4r+8)S = \pi(2a + 4r + 8)
したがって、XXπ(2a+4r+8)\pi(2a + 4r + 8)である。
(2) 道の真ん中を通る線の長さllを求める。
道の真ん中を通る線の長さは、幅がa+2a+2、半径がr+1r+1の楕円の周の長さに等しい。
l=(a+2)π(r+1)l = (a+2) \pi (r+1)
l=π(a+2)(2r+2)l = \pi(a+2)(2r+2)
l=π(2a+4r+4)l = \pi(2a + 4r + 4)
したがって、YYπ(2(a+2)+4(r+1))\pi(2(a+2)+4(r+1))である。問題文を注意深く読むと、lla,ra,rで表す必要がある。
l=π(a+2)(2(r+1))=π(2ar+2a+4r+4)l = \pi(a+2)(2(r+1)) = \pi(2ar+2a+4r+4)
(3) SSllの関係式を求める。
S=π(2a+4r+8)S = \pi(2a + 4r + 8)
l=π(2a+4r+4)l = \pi(2a + 4r + 4)
よって、
Sl=π(2a+4r+8)π(2a+4r+4)S - l = \pi(2a + 4r + 8) - \pi(2a + 4r + 4)
Sl=4πS - l = 4\pi
S=l+4πS = l + 4\pi
したがって、ZZS=l+4πS = l + 4\piである。

3. 最終的な答え

X: π(2a+4r+8)\pi(2a + 4r + 8)
Y: π(2a+4r+4)\pi(2a + 4r + 4)
Z: S=l+4πS = l + 4\pi

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