池の周囲に幅2mの道がついている。道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とする。$S$ と $l$ を $a$ と $r$ で表し、さらに $S$ と $l$ の関係式を求める。

1. 問題の内容

池の周囲に幅2mの道がついている。道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とする。$S$ と $l$ を $a$ と $r$ で表し、さらに $S$ と $l$ の関係式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 道の面積 $S$ を求める。

全体の面積は、長軸 $a+2$、短軸 $r+2$ の楕円と、半径2mの半円2つ分（=半径2mの円）の面積を足したものです。池の面積は長軸 $a$、短軸 $r$ の楕円と、半径$r$の円で表されます。

楕円の面積は $\pi \times (長半径) \times (短半径)$ で計算できます。

全体の面積 = $\pi (a+2)(r+2) + \pi 2^2 = \pi(ar + 2a + 2r + 4) + 4\pi = \pi(ar + 2a + 2r + 8)$

池の面積 = $\pi a r$

道の面積 $S$ は、全体の面積から池の面積を引いたものなので、

$S = \pi(ar + 2a + 2r + 8) - \pi a r = \pi(2a + 2r + 8)$

(2) 道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。

道の真ん中の線の長さは、長軸 $a+1$、短軸 $r+1$ の楕円と、半径2mの円周で表されます。

楕円の円周の近似式は $2\pi\sqrt{\frac{(\text{長半径})^2 + (\text{短半径})^2}{2}}$ ですが、この問題では楕円の近似式を使わずに長方形と半円の組み合わせで考えます。

楕円の周の長さは、長方形部分が $2a+2r$、半円2つ分が円周で、$2\pi$ となるので、道の真ん中の線の長さ $l$ は、

$l = 2a+2r+2\pi$

(3) $S$ と $l$ の関係式を求める。

(1)より、$S = \pi(2a + 2r + 8)$

(2)より、$l = 2a+2r+2\pi$

$S = \pi((2a+2r) + 8) = \pi((l-2\pi) + 8) = \pi l - 2\pi^2 + 8\pi$

3. 最終的な答え

X: $\pi(2a+2r+8)$

Y: $2a+2r+2\pi$

Z: $S = \pi l - 2\pi^2 + 8\pi$