与えられた和を求める問題です。 $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{19 \cdot 20} $

1. 問題の内容

与えられた和を求める問題です。

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{19 \cdot 20}$

2. 解き方の手順

この和は部分分数分解を利用して計算できます。

各項は次のように分解できます。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

したがって、与えられた和は次のように書き換えられます。

$(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20})$

これはtelescoping sum（隣り合う項が打ち消しあう和）なので、最初と最後の項だけが残ります。

$1 - \frac{1}{20}$

通分して計算します。

$1 - \frac{1}{20} = \frac{20}{20} - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{19}{20}$