次の積分を計算します。 $\int \frac{(1 - \cos x)\sin x}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の積分を計算します。

$\int \frac{(1 - \cos x)\sin x}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ となります。したがって、$\sin x dx = -dt$ です。

この置換を行うと、積分は次のようになります。

$\int \frac{(1 - t)}{1 + t}(-dt) = \int \frac{t - 1}{t + 1} dt$

次に、$\frac{t - 1}{t + 1}$ を次のように変形します。

$\frac{t - 1}{t + 1} = \frac{t + 1 - 2}{t + 1} = \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{2}{t + 1} = 1 - \frac{2}{t + 1}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (1 - \frac{2}{t + 1}) dt = \int 1 dt - 2 \int \frac{1}{t + 1} dt$

積分を計算します。

$\int 1 dt = t + C_1$

$\int \frac{1}{t + 1} dt = \ln|t + 1| + C_2$

したがって、

$\int (1 - \frac{2}{t + 1}) dt = t - 2\ln|t + 1| + C$

ここで、$C = C_1 - 2C_2$ です。

最後に、$t = \cos x$ を代入して、元の変数に戻します。

$t - 2\ln|t + 1| + C = \cos x - 2\ln|\cos x + 1| + C$

3. 最終的な答え

$\cos x - 2\ln|\cos x + 1| + C$