放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、さらにx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動したところ、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られた。このとき、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、さらにx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動したところ、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られた。このとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動する。原点対称な点の座標は $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$ となるので、対称移動後の放物線は $-y = (-x)^2 + a(-x) + b$ となり、これを整理すると、

$y = -x^2 + ax + b$

(2) 放物線 $y = -x^2 + ax + b$ をx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動する。

平行移動後の放物線は $y - 6 = -(x - 3)^2 + a(x - 3) + b$ となり、これを整理すると、

$y = -(x^2 - 6x + 9) + ax - 3a + b + 6$

$y = -x^2 + 6x - 9 + ax - 3a + b + 6$

$y = -x^2 + (6 + a)x + (b - 3a - 3)$

(3) 平行移動後の放物線 $y = -x^2 + (6 + a)x + (b - 3a - 3)$ が $y = -x^2 + 4x - 7$ と一致するので、係数を比較して連立方程式を作る。

$6 + a = 4$

$b - 3a - 3 = -7$

(4) 連立方程式を解く。

一つ目の式から $a = 4 - 6 = -2$

二つ目の式に $a = -2$ を代入すると、

$b - 3(-2) - 3 = -7$

$b + 6 - 3 = -7$

$b + 3 = -7$

$b = -7 - 3 = -10$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -10$