円と点Pが与えられています。PA = 3cm、PC = x cm、CD = 5cm、PB = 9cmのとき、xの値を求めなさい。

1. 問題の内容

円と点Pが与えられています。PA = 3cm、PC = x cm、CD = 5cm、PB = 9cmのとき、xの値を求めなさい。

2. 解き方の手順

円の割線の性質を利用します。点Pから円に引いた2つの割線PA、PBと割線PC、PDについて、以下の関係が成り立ちます。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

図より、$PA = 3$, $PB = 9$, $PC = x$, $CD = 5$ であるので、$PD = PC + CD = x + 5$ となります。

上記の円の割線の性質の式に値を代入すると、

$3 \cdot 9 = x \cdot (x + 5)$

$27 = x^2 + 5x$

$x^2 + 5x - 27 = 0$

この二次方程式を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = 5, c = -27$ なので、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 108}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{133}}{2}$

$x$ は長さなので正の値を取る必要があります。

$x = \frac{-5 + \sqrt{133}}{2}$

$\sqrt{133}$ は11.53程度なので、$x$は正の値になります。近似値で計算すると、

$x \approx \frac{-5 + 11.53}{2} \approx \frac{6.53}{2} \approx 3.265$

しかし、写真の問題では、計算を簡単にするために、近い整数解が存在すると考えられます。

もし、$PC * PD=PA * PB$, $x(x+5) = 3*9 = 27$ に近い簡単な整数解を探すと、$x=3$のとき、$3(3+5) = 3*8=24$,　$x=4$のとき、$4(4+5) = 4*9 = 36$,　$x=3$に近い解がより妥当です。

問題の図を再度見て、割線の公式を適用します。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

$3 \cdot 9 = x \cdot (x + 5)$

$27 = x^2 + 5x$

$x^2 + 5x - 27 = 0$

解の公式を使用して、$x$の正の解を求めます。

$x = \frac{-5 + \sqrt{133}}{2}$

問題文に「次の図で」とあるので、図からある程度推測します。$PC$ の長さは $PA$ より少し長い程度に見えます。

$\sqrt{133} \approx 11.53$ なので、$x = \frac{-5 + 11.53}{2} \approx 3.265$ となります。

3. 最終的な答え

x = $\frac{-5 + \sqrt{133}}{2}$ cm

もしくは近似値で、x = 3.265 cm (約)

```

x = (-5 + sqrt(133))/2

```

電卓などで計算し、有効数字を考慮して、最終的な答えを書きます。

x = 3.27 cm (約)