四角形ABCDの4辺の長さが決まっているが、形が一意に定まらない。対角線BDの長さ$x$を指定したとき、頂点Cが直線BDに関してAと反対側にある場合と、同じ側にある場合の2通りが存在するような、$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDの4辺の長さが決まっているが、形が一意に定まらない。対角線BDの長さ$x$を指定したとき、頂点Cが直線BDに関してAと反対側にある場合と、同じ側にある場合の2通りが存在するような、$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、四角形ABCDが存在するための条件を考える。これは、$\triangle BAD$と$\triangle BCD$がともに存在するための条件である。

(2) 次に、頂点Cが直線BDに関して頂点Aと反対側にある場合と、同じ側にある場合の2通りが存在するための条件を考える。これは、$\angle ABD$と$\angle CBD$の大小関係によって決まる。具体的には、$cos \angle ABD$と$cos \angle CBD$の大小関係を調べる。

(3) 最後に、四角形ABCDが一つの形に定まらないような$x$の値の範囲を求める。これは、(1)と(2)の条件を組み合わせることで求められる。

問題文に

$BD=x$ とおく。

と書いてあるので、BDの長さを$x$とします。

四角形ABCDが存在するのは、$\triangle BAD$ と $\triangle BCD$がともに存在するときであるから、この$x$のとりうる値の範囲は、$ア < x < イ$ となります。

四角形ABCDの頂点Cが直線BDに関して頂点Aと反対側にある場合と同じ側にある場合の2通りあるための条件は、$\angle ABD$ $ウ$ $\angle CBD$ である。

ここで、$cos\angle ABD$ $ヌ$ $cos\angle CBD$ となることである。

したがって、四角形ABCDが一つの形に定まらないような$x$の値の範囲は

$ネ < x < ハ$ である。

ここで、問題文の画像を参照して、空欄を埋めていきます。

まず、$x$の範囲ですが、四角形$ABCD$が存在するためには、$\triangle ABD$と$\triangle CBD$が存在する必要があります。三角形の成立条件より、$|AB-AD|<BD<AB+AD$ かつ $|CB-CD|<BD<CB+CD$ が必要です。問題文には、$ア < x < イ$と書かれており、ア、イの空欄を埋める必要があります。

次に、$\angle ABD$ と $\angle CBD$ の関係を考えます。頂点Cが直線BDに関して頂点Aと反対側にある場合と同じ側にある場合の2通りあるためには、$\angle ABD$ $ウ$ $\angle CBD$ である必要があります。画像から、$\angle ABD$ と $\angle CBD$ のどちらが大きいかを表す記号を選ぶ必要があります。

画像から、$\angle ABD \ne \angle CBD$ と言えるので、ウには、「$\ne$ 」が入ります。

次に、$cos\angle ABD$ $ヌ$ $cos\angle CBD$ となることである。

$cos$関数は、$0^\circ$から$180^\circ$の間で減少関数であるため、$\angle ABD < \angle CBD$ であれば $cos\angle ABD > cos\angle CBD$ となり、$\angle ABD > \angle CBD$ であれば $cos\angle ABD < cos\angle CBD$ となります。

問題文から、$ヌ$には、「$\ne$ 」を選べないため、「$>$」を選びます。

したがって、四角形ABCDが一つの形に定まらないような$x$の値の範囲は $ネ < x < ハ$ である。

3. 最終的な答え

ア：$|AB-AD|$

イ：$AB+AD$

ウ：$\ne$

ヌ：$>$

ネ：$|AB-AD|$

ハ：$AB+AD$