直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求めます。 (2) 点 $P$ を通り、直線 $l$ に直交する直線を $l_1$ とするとき、$l_1$ の媒介変数表示を求めます。 (3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求めます。

(2) 点 $P$ を通り、直線 $l$ に直交する直線を $l_1$ とするとき、$l_1$ の媒介変数表示を求めます。

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルを求めます。

一般に、直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ で与えられます。

したがって、$l$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ です。

(2) 点 $P(2, -1)$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求めます。

$l$ に直交する直線の方向ベクトルは、$l$ の法線ベクトルに平行です。つまり、$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ が $l_1$ の方向ベクトルとなります。

したがって、$l_1$ の媒介変数表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + t \\ -1 - 2t \end{pmatrix}$

と表されます。よって、$x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$ です。

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求めます。

交点では、$l$ と $l_1$ の $(x, y)$ 座標が一致します。

$x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$ を $x - 2y + 1 = 0$ に代入します。

$(2 + t) - 2(-1 - 2t) + 1 = 0$

$2 + t + 2 + 4t + 1 = 0$

$5t + 5 = 0$

$5t = -5$

$t = -1$

これを $x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$ に代入すると、

$x = 2 + (-1) = 1$

$y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

したがって、交点の座標は $(1, 1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ ($x = 2+t, y = -1-2t$)

(3) $(1, 1)$