$AB = 5$, $AC = 12$, $BC = 13$ の直角三角形ABCにおいて、頂点Aから底辺BCに垂線を下ろし、底辺BCとの交点をHとするとき、AHとBHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

$AB = 5$, $AC = 12$, $BC = 13$ の直角三角形ABCにおいて、頂点Aから底辺BCに垂線を下ろし、底辺BCとの交点をHとするとき、AHとBHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCが直角三角形であることを確認する。ピタゴラスの定理が成り立つか確認すると、$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$であるため、三角形ABCは∠Aが直角の直角三角形である。

(1) AHの長さを求める。

三角形ABCの面積は、底辺をABとすると、高さはACなので、$\frac{1}{2} \times AB \times AC$で求められる。一方、底辺をBCとすると、高さはAHなので、$\frac{1}{2} \times BC \times AH$でも求められる。したがって、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times AH$

これに各辺の長さを代入する。

$\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 13 \times AH$

$5 \times 12 = 13 \times AH$

$60 = 13 \times AH$

$AH = \frac{60}{13}$

(2) BHの長さを求める。

三角形ABHは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AB^2 = AH^2 + BH^2$が成り立つ。

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = 5^2 - (\frac{60}{13})^2$

$BH^2 = 25 - \frac{3600}{169}$

$BH^2 = \frac{25 \times 169 - 3600}{169}$

$BH^2 = \frac{4225 - 3600}{169}$

$BH^2 = \frac{625}{169}$

$BH = \sqrt{\frac{625}{169}} = \frac{25}{13}$

3. 最終的な答え

AH = $\frac{60}{13}$

BH = $\frac{25}{13}$