## 問題の内容

## 問題の内容

円 $(x+2)^2 + y^2 = 1$ と直線 $x=1$ の両方に接する円の中心Pの軌跡を求めます。

## 解き方の手順

1. 求める円の中心を P$(x, y)$、半径を $r$ とします。

2. 円 $(x+2)^2 + y^2 = 1$ は、中心 $(-2, 0)$、半径 $1$ の円です。

3. 円Pと円 $(x+2)^2 + y^2 = 1$ が接するので、中心間の距離は半径の和または差に等しくなります。つまり、

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = r \pm 1$

4. 円Pが直線 $x=1$ に接するので、中心Pと直線 $x=1$ の距離は半径 $r$ に等しくなります。つまり、

$|x-1| = r$

5. 3.と4.の式から $r$ を消去します。

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = |x-1| \pm 1$

6. 両辺を2乗します。

$(x+2)^2 + y^2 = (|x-1| \pm 1)^2$

$(x+2)^2 + y^2 = (x-1)^2 \pm 2|x-1| + 1$

$x^2+4x+4 + y^2 = x^2 - 2x + 1 \pm 2|x-1| + 1$

$y^2 + 6x + 2 = \pm 2|x-1|$

7. 場合分けをします。

(i) $x \geq 1$ のとき、

$y^2 + 6x + 2 = \pm 2(x-1)$

$y^2 + 6x + 2 = 2x - 2$ または $y^2 + 6x + 2 = -2x + 2$

$y^2 = -4x - 4$ または $y^2 = -8x$

$y^2 = -4(x+1)$ または $y^2 = -8x$

$x \geq 1$ より $y^2 = -4(x+1)$ は解なし。

よって、 $y^2 = -8x$, $x \geq 1$

(ii) $x < 1$ のとき、

$y^2 + 6x + 2 = \pm 2(1-x)$

$y^2 + 6x + 2 = 2 - 2x$ または $y^2 + 6x + 2 = -2 + 2x$

$y^2 = -8x$ または $y^2 = -4x - 4$

$y^2 = -8x$ または $y^2 = -4(x+1)$

$x < 1$ より $y^2 = -8x$ , $x < 1$ または $y^2 = -4(x+1)$, $x < 1$

8. 円の半径 $r$ は常に正である必要があるため、$r = |x-1|$ > 0 を満たす必要があります。これは $x \neq 1$ を意味します。

## 最終的な答え

求める軌跡は、以下の放物線の一部です。

$y^2 = -8x$ ($x<1$ かつ $x \ge 1$) これは $x \neq 1$ を満たします。

$y^2 = -4(x+1)$ ($x<1$)