3点 A(-1, 2), B(5, -1), C(6, 1) が与えられたとき、以下の問題を解きます。 (1) 直線 AB の方程式を求めます。 (2) 点 C と直線 AB の距離を求めます。 (3) △ABC の面積を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(-1, 2), B(5, -1), C(6, 1) が与えられたとき、以下の問題を解きます。

(1) 直線 AB の方程式を求めます。

(2) 点 C と直線 AB の距離を求めます。

(3) △ABC の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 AB の方程式を求めます。

まず、直線 AB の傾き $m$ を求めます。

$m = \frac{-1 - 2}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

次に、点 A(-1, 2) を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求めます。

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

両辺に 2 を掛けて整理します。

$2y = -x + 3$

$x + 2y - 3 = 0$

(2) 点 C(6, 1) と直線 AB の距離を求めます。

点と直線の距離の公式を使います。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の場合は、$x_0 = 6, y_0 = 1, a = 1, b = 2, c = -3$ なので、

$d = \frac{|1 \cdot 6 + 2 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(3) △ABC の面積を求めます。

△ABC の面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot d$ で求めることができます。ここで、$d$ は点 C と直線 AB の距離です。

$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

よって、△ABC の面積は、

$\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 直線 AB の方程式: $x + 2y - 3 = 0$

(2) 点 C と直線 AB の距離: $\sqrt{5}$

(3) △ABC の面積: $\frac{15}{2}$