点A(2, -4), B(1, -2)が与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

点A(2, -4), B(1, -2)が与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$\overrightarrow{AB}$を求めます。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$なので、

$\overrightarrow{AB} = (1, -2) - (2, -4) = (1-2, -2-(-4)) = (-1, 2)$

次に、ベクトル$\overrightarrow{AB}$の大きさを求めます。

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

最後に、単位ベクトルを求めます。ベクトル$\overrightarrow{AB}$と同じ向きの単位ベクトルは、$\overrightarrow{AB}$をその大きさ$|\overrightarrow{AB}|$で割ることで求められます。

$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{(-1, 2)}{\sqrt{5}} = \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$

分母を有理化すると、

$\left( -\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)$

3. 最終的な答え

$\left( -\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)$