直方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をMとするとき、∠MECの大きさと△MECの面積を求める問題です。ただし、AD = 1, EF = 2 とします。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をMとするとき、∠MECの大きさと△MECの面積を求める問題です。ただし、AD = 1, EF = 2 とします。

2. 解き方の手順

まず、△MECの形状を把握します。

点Mは辺ABの中点なので、$AM = MB = 1$です。また、$AE = BF = CG = DH$ (高さ) なので、$AE = BF$です。

$EM = \sqrt{AE^2 + AM^2} = \sqrt{AE^2 + 1^2}$

$CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{AD^2 + MB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$EC = \sqrt{AE^2 + AC^2} = \sqrt{AE^2 + AB^2 + BC^2} = \sqrt{AE^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{AE^2 + 5}$

$MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$ME = \sqrt{AM^2 + AE^2} = \sqrt{1 + AE^2}$

$CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{AB^2 + (AD^2 + AE^2)} = \sqrt{4 + 1 + AE^2} = \sqrt{5 + AE^2}$

次に、∠MECの大きさを求めます。

余弦定理より、

$MC^2 = ME^2 + EC^2 - 2ME \cdot EC \cos ∠MEC$

$(\sqrt{2})^2 = (\sqrt{1+AE^2})^2 + (\sqrt{5+AE^2})^2 - 2\sqrt{1+AE^2}\sqrt{5+AE^2}\cos ∠MEC$

$2 = 1 + AE^2 + 5 + AE^2 - 2\sqrt{1+AE^2}\sqrt{5+AE^2}\cos ∠MEC$

$2 = 6 + 2AE^2 - 2\sqrt{(1+AE^2)(5+AE^2)}\cos ∠MEC$

$-4 - 2AE^2 = - 2\sqrt{5 + 6AE^2 + (AE^2)^2}\cos ∠MEC$

$2 + AE^2 = \sqrt{5 + 6AE^2 + (AE^2)^2}\cos ∠MEC$

$\cos ∠MEC = \frac{2 + AE^2}{\sqrt{5 + 6AE^2 + (AE^2)^2}}$

ここで、仮にAE = 1の場合、

$\cos ∠MEC = \frac{3}{\sqrt{5 + 6 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、∠MEC = 30度

三角形MECの面積を求める。

ME = $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

EC = $\sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}$

$Area = \frac{1}{2}ME \cdot EC \cdot \sin ∠MEC = \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sin 30 = \frac{1}{2}\sqrt{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

AEの長さが分からなければ、これ以上計算できません。しかし、仮にAE = 1と仮定すると、上記のように解くことができます。

AE = 1 とします。

∠MEC = 30°

△MECの面積 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

∠MEC = 30°

△MECの面積 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$