小さな噴水の放物線 $C_1$ および $C_2$ と、大きな噴水の放物線 $C_3$ に関する問題です。 $C_1$ は点 $(-\frac{5}{2}, 0)$ から出て $(0, 1)$ を通り、$C_2$ は点 $(\frac{5}{2}, 0)$ から出て $(0, 1)$ を通ります。$C_3$ は点 $(\frac{3}{2}, 0)$ から出て $C_1$ と $C_2$ の頂点を通ります。 $C_1$ の方程式 $y = ax^2 + bx + c$ において $c$ の値、および $C_1$ の具体的な方程式、そして $C_1$ と $C_3$ の頂点の $y$ 座標を求め、最後に $C_3$ の高さが $C_1$ の高さの何倍かを答えます。

1. 問題の内容

小さな噴水の放物線 $C_1$ および $C_2$ と、大きな噴水の放物線 $C_3$ に関する問題です。

$C_1$ は点 $(-\frac{5}{2}, 0)$ から出て $(0, 1)$ を通り、$C_2$ は点 $(\frac{5}{2}, 0)$ から出て $(0, 1)$ を通ります。$C_3$ は点 $(\frac{3}{2}, 0)$ から出て $C_1$ と $C_2$ の頂点を通ります。

$C_1$ の方程式 $y = ax^2 + bx + c$ において $c$ の値、および $C_1$ の具体的な方程式、そして $C_1$ と $C_3$ の頂点の $y$ 座標を求め、最後に $C_3$ の高さが $C_1$ の高さの何倍かを答えます。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$ が点 $(0, 1)$ を通るので、$y = ax^2 + bx + c$ に $x = 0, y = 1$ を代入すると、

$1 = a(0)^2 + b(0) + c$ より $c = 1$。

次に、$C_1$ は点 $(-\frac{5}{2}, 0)$ を通るので、$y = ax^2 + bx + 1$ に $x = -\frac{5}{2}, y = 0$ を代入すると、

$0 = a(-\frac{5}{2})^2 + b(-\frac{5}{2}) + 1$

$0 = \frac{25}{4}a - \frac{5}{2}b + 1$

$0 = 25a - 10b + 4$ --- (1)

$C_2$ は $x$ 軸上の点 $(\frac{5}{2}, 0)$ を通るので、$C_1$ は $y$ 軸に関して対称であることから $b=0$。

(1) に代入して、$25a + 4 = 0$, $a = -\frac{4}{25}$。

したがって、$C_1$ の方程式は $y = -\frac{4}{25}x^2 + 1$。

$C_1$ の頂点の $y$ 座標は $x = 0$ のとき、$y = 1$。

$C_1$ の頂点は $(0, 1)$ であり、$C_2$ の頂点も $(0, 1)$。

$C_3$ は $(\frac{3}{2}, 0)$ を通るので、$y = A(x - \frac{3}{2})^2 + B$ と表せる。

$C_3$ は $(0, 1)$ を通るので、$1 = A(\frac{3}{2})^2 + B = \frac{9}{4}A + B$ --- (2)

$C_1$ の頂点 $(0, 1)$ と $C_2$ の頂点 $(0, 1)$ を $C_3$ が通るので、$C_3$ の頂点の $x$ 座標は $x = \frac{3}{2}$ の中間点の $x = \frac{3}{4}$ より $C_3$ の頂点の $y$ 座標を $Y$ とすると $Y = 1 + (\frac{3}{2} - \frac{3}{4})^2 (-\frac{4}{25})$

$y = A(x - \frac{3}{2})^2 + 1$

$C_3$ は $(0, 1)$ を通る。

$1=A(\frac{9}{4})+B$

$C_3$ の $y$ 座標の頂点は $(3/4)^2$

$C_3 = A$

$C_1$ の頂点座標は $\frac{4}{25} \times \frac{3}{2}$

$\frac{9}{4}a+1$

$C_3$の頂点の座標を求める。

$C_3$ の頂点の $y$ 座標は1になる。

したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの 1 倍である。

$C_3$の頂点の $y$座標がわからなかったので解くことができない。

3. 最終的な答え

解けませんでした。