三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとする。 (1) ベクトルODをベクトルOAとベクトルOBで表す。 (2) ベクトルOP = ベクトルOC + t * ベクトルCBを変形し、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表す。 (3) OP:PDを求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとする。

(1) ベクトルODをベクトルOAとベクトルOBで表す。

(2) ベクトルOP = ベクトルOC + t * ベクトルCBを変形し、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表す。

(3) OP:PDを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Dは辺ABを2:1に内分するので、ベクトルODは次のように表される。

$\vec{OD} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

(2) 点Cは辺OAを3:2に内分するので、ベクトルOCは次のように表される。

$\vec{OC} = \frac{3}{5}\vec{OA}$

また、ベクトルCBは

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = \vec{OB} - \frac{3}{5}\vec{OA} = -\frac{3}{5}\vec{OA} + \vec{OB}$

したがって、ベクトルOPは次のように表される。

$\vec{OP} = \vec{OC} + t\vec{CB} = \frac{3}{5}\vec{OA} + t(-\frac{3}{5}\vec{OA} + \vec{OB}) = (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t)\vec{OA} + t\vec{OB}$

点Pは線分OD上にあるので、実数kを用いて、$\vec{OP} = k\vec{OD}$と表せる。

$\vec{OP} = k(\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}) = \frac{k}{3}\vec{OA} + \frac{2k}{3}\vec{OB}$

したがって、

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t = \frac{k}{3}$

$t = \frac{2k}{3}$

この2式から、

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2k}{3} = \frac{k}{3}$

$\frac{3}{5} - \frac{2k}{5} = \frac{k}{3}$

$\frac{9 - 6k}{15} = \frac{5k}{15}$

$9 - 6k = 5k$

$11k = 9$

$k = \frac{9}{11}$

よって、

$\vec{OP} = \frac{9}{11} \vec{OD}$

(3) $\vec{OP} = \frac{9}{11} \vec{OD}$ より、OP:OD = 9:11

よって、OP:PD = 9:(11-9) = 9:2

3. 最終的な答え

(1) ベクトルOD = (1/3)ベクトルOA + (2/3)ベクトルOB

(2) ベクトルOP = (9/11) * (1/3)ベクトルOA + (9/11) * (2/3)ベクトルOB = (3/11)ベクトルOA + (6/11)ベクトルOB

(3) OP:PD = 9:2