2直線 $y=\frac{1}{2}x+1$ と $y=3x-1$ のなす角のうち、鋭角 $\theta$ を選択肢の中から選びなさい。

1. 問題の内容

2直線 $y=\frac{1}{2}x+1$ と $y=3x-1$ のなす角のうち、鋭角 $\theta$ を選択肢の中から選びなさい。

2. 解き方の手順

2直線のなす角を求めるには、それぞれの直線の傾きからtanの加法定理を用いる方法があります。

直線の傾きをそれぞれ $m_1 = \frac{1}{2}$ と $m_2 = 3$ とします。

それぞれの直線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\alpha$, $\beta$ とすると、$\tan \alpha = m_1 = \frac{1}{2}$、$\tan \beta = m_2 = 3$ となります。

2直線のなす角 $\theta$ は $|\alpha - \beta|$ で表されるので、$\tan \theta = |\tan(\alpha - \beta)|$ を計算します。

$\tan$ の加法定理より、

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - 3}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} - \frac{6}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = |-1| = 1$

したがって、$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ を求めます。$\theta$ は鋭角なので $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であり、この範囲で $\tan \theta = 1$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$