3点A(2, 2, 0), B(2, -3, √5), C(1, -1, 0)について、∠ACB = θとする。 (1) ベクトル$\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$を成分で表せ。 (2) θの値を求めよ。 (3) △ABCの面積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

3点A(2, 2, 0), B(2, -3, √5), C(1, -1, 0)について、∠ACB = θとする。

(1) ベクトル$\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$を成分で表せ。

(2) θの値を求めよ。

(3) △ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$の成分表示を求める。

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}$

(2) 内積の定義を利用して$\cos{\theta}$を求め、$\theta$の値を特定する。

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \cos{\theta}$

(3) △ABCの面積を求める。2辺とその間の角のsinが分かれば、面積は以下で求まる。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \sin{\theta}$

または、ベクトルABとACの外積の絶対値の半分でも求まる。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

では、計算を進めます。

(1) ベクトルの成分表示

$\overrightarrow{CA} = (2-1, 2-(-1), 0-0) = (1, 3, 0)$

$\overrightarrow{CB} = (2-1, -3-(-1), \sqrt{5}-0) = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) θの値を求める。

まず、内積を計算する。

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (1)(1) + (3)(-2) + (0)(\sqrt{5}) = 1 - 6 + 0 = -5$

次に、ベクトルの大きさを計算する。

$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

$|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 4 + 5} = \sqrt{10}$

$\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}|} = \frac{-5}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$

(3) △ABCの面積を求める。

$\sin{\theta} = \sin{\frac{2}{3}\pi} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \sin{\theta} = \frac{1}{2} \sqrt{10} \sqrt{10} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (10) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{CA} = (1, 3, 0)$, $\overrightarrow{CB} = (1, -2, \sqrt{5})$

(2) $\theta = \frac{2}{3}\pi$

(3) $S = \frac{5\sqrt{3}}{2}$