円に内接する四角形ABCDにおいて、点Pから2直線がA, B, C, Dで円と交わっています。CP = 13, DP = 12, AD = x, BC = y, ∠ABP = 90°, AD = 2CDという条件が与えられています。このとき、xとyの値を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、点Pから2直線がA, B, C, Dで円と交わっています。CP = 13, DP = 12, AD = x, BC = y, ∠ABP = 90°, AD = 2CDという条件が与えられています。このとき、xとyの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立ちます。

また、円周角の定理より、$AD = 2CD$ ならば $\angle ACD = 2\angle CAD$ が成り立ちます。

(2) $\angle ABP = 90^\circ$ より、APは円の直径になります。

$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2}$ですが、直接ABやBPの長さは求まりません。

(3) 方べきの定理を用いることを考えます。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD = 13 \cdot 12 = 156$

(4) $\angle ABP = 90^\circ$であることから、$\angle ADB = 90^\circ$となるので、ABは円の直径。

したがって、$AB = AP$です。

(5) 四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理が使えます。

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

(6) $\triangle PBC$ と $\triangle PDA$ について、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ より、$\triangle PBC \sim \triangle PDA$となります。

したがって、$BC/DA = BP/PA = PC/PD$より、$y/x = BP/AP = 12/13$

したがって、$BP = 13y/x$, $AP = 12y/x$

($AP \cdot BP = 156$だから$(13y/x)\cdot(12y/x)=156$よって$\frac{156y^2}{x^2} = 156$となるので$y^2 = x^2$。したがって$x=y$)

よって$x = y$。

(7) $\angle CAD = \angle CBD$

$\angle ACD = \angle ABD$

$AD = 2CD$

$x=y$より、$AD = 2CD$なので、$CD = x/2$

$\triangle ABD$は$\angle ADB=90^\circ$の直角三角形なので、$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{x^2 + BD^2}$

(8) $PA \cdot PB = 156$ と $BP/AP = 12/13$から、

$AP = \frac{13}{12}BP$ なので、$\frac{13}{12}BP^2 = 156$

$BP^2 = 156 \cdot \frac{12}{13} = 12 \cdot 12 = 144$

$BP = 12$

$AP = 13$

ABは直径で、$\angle ACB = 90^\circ$となる。

(9) $\triangle ABP$において三平方の定理より、$AB^2 + BP^2 = AP^2$

$x = y$

$\angle ABP = 90^\circ$より、$\angle BDA = 90^\circ$となることはあり得ない。$\angle ADB = 90^\circ$だと$\triangle ADP$は直角三角形になる。

相似から再考すると、$\triangle PAD \sim \triangle PBC$より、

$AD/BC = PD/PC = PA/PB$

$x/y = 12/13$となるので、$13x = 12y$

$\angle ABP = 90^\circ$

3. 最終的な答え

x = 8, y = 6