点Pから円へ引かれた2本の直線が、円とそれぞれA, B, C, Dで交わっている。CP = 13, DP = 12, AD = x, BC = y, ∠ABP = 90°, AD = 2CDである。このとき、xとyの値を求める問題である。

1. 問題の内容

点Pから円へ引かれた2本の直線が、円とそれぞれA, B, C, Dで交わっている。CP = 13, DP = 12, AD = x, BC = y, ∠ABP = 90°, AD = 2CDである。このとき、xとyの値を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理を利用してADの値を求める。方べきの定理より、

$PC \cdot PB = PD \cdot PA$

ここで、$PB = y$、$PA = x + 2CD = x + x = 2x$、よって、

$13(PC + BC) = 12(PD + DA)$

$13y = 12(12+x)$

次に、∠ABP = 90°であることから、ACが円の直径となる。

AD = 2CDよりCD = x/2。よって、CA = CD + DA = x/2 + x = 3x/2となる。

三角形ABCにおいて、∠ABC = 90°より、三平方の定理が成り立つ。つまり、$AC^2 = AB^2 + BC^2$。

$AB^2 + y^2 = (\frac{3x}{2})^2$

また、円周角の定理より、∠ABC = 90°ならば、ACは直径であり中心を通る。

∠ABP = 90°なので、APは直径ではない。

方べきの定理から、

$PC \cdot PB = PA \cdot PD$

$13(y) = (x + \frac{x}{2})12$

$13y = 12(\frac{3}{2}x) = 18x$

$13y = 18x$

$y = \frac{18x}{13}$

さらに、∠ABP = 90°なので、ACが円の直径となる。

したがって、$AC = \frac{3}{2}x$

また、∠ABC = 90°より、 $AC^2 = AB^2 + BC^2$

$(\frac{3}{2}x)^2 = AB^2 + y^2$

$\frac{9}{4}x^2 = AB^2 + (\frac{18x}{13})^2$

$\frac{9}{4}x^2 = AB^2 + \frac{324x^2}{169}$

$\frac{9}{4}x^2 - \frac{324}{169}x^2 = AB^2$

ここで、円に内接する四角形ABCDにおいて、∠ABC + ∠ADC = 180°となる。

∠ABC = 90°なので、∠ADC = 90°。

したがって、三角形APDにおいて、三平方の定理が成り立つ。

$AP^2 = AD^2 + DP^2$

$AP = \frac{3}{2}x$, $DP = 12$, $AD = x$

$(\frac{3}{2}x)^2 = x^2 + 12^2$

$\frac{9}{4}x^2 = x^2 + 144$

$\frac{5}{4}x^2 = 144$

$x^2 = \frac{4}{5} \cdot 144 = \frac{576}{5}$

$x = \sqrt{\frac{576}{5}} = \frac{24}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{5}}{5}$

$y = \frac{18}{13}x = \frac{18}{13} \cdot \frac{24\sqrt{5}}{5} = \frac{432\sqrt{5}}{65}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{24\sqrt{5}}{5}$

$y = \frac{432\sqrt{5}}{65}$