図のように2つの長方形で囲まれた道がある。道の面積を$S$、道の真ん中を通る線の長さを$l$とするとき、$S = 4l$となることを証明する。道の幅は$4m$で、内側の長方形の縦の長さは$a\ m$、横の長さは$l\ m$である。

1. 問題の内容

図のように2つの長方形で囲まれた道がある。道の面積を$S$、道の真ん中を通る線の長さを$l$とするとき、$S = 4l$となることを証明する。道の幅は$4m$で、内側の長方形の縦の長さは$a\ m$、横の長さは$l\ m$である。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を求める。外側の長方形の縦の長さは$a + 4 + 4 = a + 8\ m$、横の長さは$l + 4 + 4 = l + 8\ m$である。

したがって、外側の長方形の面積は $(a+8)(l+8)$、内側の長方形の面積は $al$である。道の面積$S$は、外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引いたものなので、

$S = (a+8)(l+8) - al$

$S = al + 8a + 8l + 64 - al$

$S = 8a + 8l + 64$

次に、道の真ん中を通る線の長さ$l$を求める。この線は内側の長方形よりも縦横ともに$4\ m$ずつ長い。したがって、この長方形の縦の長さは$a + 4\ m$、横の長さは$l + 4\ m$である。

道の真ん中を通る線の長さ$l$は、この長方形の周の長さなので、

$l = 2(a+4) + 2(l+4)$

$l = 2a + 8 + 2l + 8$

$l = 2a + 2l + 16$

ここで、$S = 4l$を証明したいので、右辺を計算する。

$4l = 4(2a + 2l + 16)$

$4l = 8a + 8l + 64$

これは先に求めた$S$に等しい。

$S = 8a + 8l + 64$

したがって、$S = 4l$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = 4l$が証明された。