$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $BC$ と線分 $OD$ の交点を $P$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) ベクトル $OD$ をベクトル $OA$ とベクトル $OB$ で表せ。 (2) ベクトル $OP = $ ベクトル $OC + t \cdot$ ベクトル $CB$ を変形し、ベクトル $OP$ をベクトル $OA$ とベクトル $OB$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $BC$ と線分 $OD$ の交点を $P$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) ベクトル $OD$ をベクトル $OA$ とベクトル $OB$ で表せ。

(2) ベクトル $OP =$ ベクトル $OC + t \cdot$ ベクトル $CB$ を変形し、ベクトル $OP$ をベクトル $OA$ とベクトル $OB$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $D$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点なので、ベクトル $OD$ はベクトル $OA$ とベクトル $OB$ を用いて次のように表せる。

$OD = \frac{1 \cdot OA + 2 \cdot OB}{2+1} = \frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB$

(2) 点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、

$OP = OC + t CB$ ($t$ は実数) と表せる。

点 $C$ は辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点なので、$OC = \frac{3}{5} OA$ である。

また、$CB = OB - OC = OB - \frac{3}{5} OA$ である。

よって、

$OP = \frac{3}{5} OA + t (OB - \frac{3}{5} OA) = \frac{3}{5} OA + t OB - \frac{3t}{5} OA = (\frac{3}{5} - \frac{3t}{5}) OA + t OB$

一方、点 $P$ は線分 $OD$ 上にあるので、$OP = k OD$ ($k$ は実数) と表せる。

(1) より、$OD = \frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB$ であるから、

$OP = k (\frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB) = \frac{k}{3} OA + \frac{2k}{3} OB$

したがって、

$OP = (\frac{3}{5} - \frac{3t}{5}) OA + t OB = \frac{k}{3} OA + \frac{2k}{3} OB$

$OA$ と $OB$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3}{5} - \frac{3t}{5} = \frac{k}{3}$

$t = \frac{2k}{3}$

この2式より、$k$ と $t$ を求める。

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2k}{3} = \frac{k}{3}$

$\frac{3}{5} - \frac{2k}{5} = \frac{k}{3}$

$\frac{9}{15} - \frac{6k}{15} = \frac{5k}{15}$

$9 - 6k = 5k$

$11k = 9$

$k = \frac{9}{11}$

$t = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{11} = \frac{6}{11}$

よって、

$OP = \frac{k}{3} OA + \frac{2k}{3} OB = \frac{9/11}{3} OA + \frac{2 \cdot 9/11}{3} OB = \frac{3}{11} OA + \frac{6}{11} OB$

3. 最終的な答え

(1) $OD = \frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB$

(2) $OP = \frac{3}{11} OA + \frac{6}{11} OB$