ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積で求められる。

外積を計算する。

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (3)(-2) \\ (3)(0) - (2)(1) \\ (2)(-2) - (-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 6 \\ 0 - 2 \\ -4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$

外積 $\vec{c}$ の大きさを計算する。

$|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

問題文の条件より、求めるベクトルの大きさは $3\sqrt{5}$ なので、$\vec{c}$ は条件を満たす。また、$\vec{c}$ と逆向きのベクトル $-\vec{c}$ も条件を満たす。

$-\vec{c} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$|-\vec{c}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ である。