与えられた図において、$\angle CBD = 30^{\circ}$, $\angle BAD = 45^{\circ}$, $\angle BDA = 15^{\circ}$, $AD = 150$ mであるとき、ビルの高さ$CD$を求める問題です。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$とし、小数第1位を四捨五入して答えます。

1. 問題の内容

与えられた図において、$\angle CBD = 30^{\circ}$, $\angle BAD = 45^{\circ}$, $\angle BDA = 15^{\circ}$, $AD = 150$ mであるとき、ビルの高さ$CD$を求める問題です。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$とし、小数第1位を四捨五入して答えます。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$において、$\angle ABD = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle BDA = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$となります。

次に、正弦定理を用いて$BD$の長さを求めます。正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin{\angle ABD}} = \frac{BD}{\sin{\angle BAD}}$

$\frac{150}{\sin{120^{\circ}}} = \frac{BD}{\sin{45^{\circ}}}$

$BD = \frac{150 \times \sin{45^{\circ}}}{\sin{120^{\circ}}} = \frac{150 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{150 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{150 \sqrt{6}}{3} = 50\sqrt{6}$

次に、$\triangle CBD$において、$CD = BD \times \sin{\angle CBD}$なので、

$CD = 50\sqrt{6} \times \sin{30^{\circ}} = 50\sqrt{6} \times \frac{1}{2} = 25\sqrt{6}$

ここで、$6 = 2 \times 3$なので、$\sqrt{6} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$としたいところですが、問題文で$\sqrt{2}$しか与えられていないので、$\sqrt{6}$の値そのものを求めることを考えます。

$\sqrt{6} \approx 2.449$ より、

$CD \approx 25 \times 2.449 = 61.225$

小数第1位を四捨五入すると、$CD \approx 61$

正弦定理を使い、$BD$の値を計算します。

$BD = \frac{150 \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{150 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{150 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 50 \sqrt{6}$

$\triangle BCD$において、$\angle CDB = 90^\circ$であるので、

$CD = BD \sin 30^\circ = BD \cdot \frac{1}{2} = \frac{50 \sqrt{6}}{2} = 25 \sqrt{6}$

$\sqrt{6} = \sqrt{2} \sqrt{3}$を使いません。

$\sqrt{6} \approx 2.449$なので、$CD = 25 \times 2.449 = 61.225 \approx 61.2$

小数第1位を四捨五入すると、$CD \approx 61$

3. 最終的な答え

61 m