(1) 2点A(1, 2), B(3, 1)を通る直線に垂直で、原点を通る直線の方程式を求める。 (2) 2点A(-1, 7), B(5, 9)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点A(1, 2), B(3, 1)を通る直線に垂直で、原点を通る直線の方程式を求める。

(2) 2点A(-1, 7), B(5, 9)を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2点A(1, 2), B(3, 1)を通る直線の傾きを求める。傾きは、$m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$で計算できる。

$m = (1 - 2) / (3 - 1) = -1/2$

求める直線は、この直線に垂直なので、傾きは元の直線の傾きの逆数の符号を変えたものになる。つまり、求める直線の傾きは$m' = -1/m = -1/(-1/2) = 2$となる。

また、求める直線は原点(0, 0)を通るので、$y = mx + c$の式に$m=2, x=0, y=0$を代入すると、$0 = 2 * 0 + c$となり、$c = 0$となる。

したがって、求める直線の方程式は、$y = 2x$となる。

(2)

まず、2点A(-1, 7), B(5, 9)を結ぶ線分ABの中点を求める。中点の座標は、$((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)$で計算できる。

中点の座標は、$((-1 + 5)/2, (7 + 9)/2) = (4/2, 16/2) = (2, 8)$となる。

次に、線分ABの傾きを求める。傾きは、$m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$で計算できる。

$m = (9 - 7) / (5 - (-1)) = 2 / 6 = 1/3$

求める直線は、線分ABに垂直なので、傾きは線分ABの傾きの逆数の符号を変えたものになる。つまり、求める直線の傾きは$m' = -1/m = -1/(1/3) = -3$となる。

また、求める直線は中点(2, 8)を通るので、$y = mx + c$の式に$m=-3, x=2, y=8$を代入すると、$8 = -3 * 2 + c$となり、$8 = -6 + c$となるので、$c = 14$となる。

したがって、求める直線の方程式は、$y = -3x + 14$となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x$

(2) $y = -3x + 14$