座標空間内に4点A(1, 0, -1), B(2, 1, 0), C(-1, 2, -1), D(-2, -1, 3)がある。線分ABをs:(1-s)に内分する点をP, 線分CDをt:(1-t)に内分する点をQとする。$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ}$で定まる点Rについて、以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{OR}$をs, tを用いて表せ。 (2) $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$の範囲でs, tが動くとき、点Rが描く図形Fの面積を求めよ。 (3) 図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルを求めよ。 (4) 点Rが図形F上を動くとき、線分ORが動いてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内に4点A(1, 0, -1), B(2, 1, 0), C(-1, 2, -1), D(-2, -1, 3)がある。線分ABをs:(1-s)に内分する点をP, 線分CDをt:(1-t)に内分する点をQとする。$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ}$で定まる点Rについて、以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OR}$をs, tを用いて表せ。

(2) $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$の範囲でs, tが動くとき、点Rが描く図形Fの面積を求めよ。

(3) 図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルを求めよ。

(4) 点Rが図形F上を動くとき、線分ORが動いてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OP}$と$\overrightarrow{OQ}$をそれぞれ求め、$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ を計算する。

(2) (1)で求めた$\overrightarrow{OR}$を成分表示し、s, tの範囲を考慮して、図形Fが平行四辺形であることを示す。平行四辺形の面積は、２つのベクトル（例えば$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AD}$）の外積の絶対値で求められる。

(3) 平行四辺形を含む平面の法線ベクトルは、平行四辺形を構成する２つのベクトル（例えば$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{AD}$）の外積で求められる。この法線ベクトルを正規化することで、単位法線ベクトルを得る。

(4) 求める体積は、$\frac{1}{3} | (\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} |$の公式を用いて計算する。

(1)

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} = (1-s)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+s \\ s \\ -1+s \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OD} = (1-t)\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-t \\ 2-3t \\ -1+4t \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} -1-t \\ 2-3t \\ -1+4t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1+s \\ s \\ -1+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-s-t \\ 2-s-3t \\ s+4t \end{pmatrix}$

(2)

$\overrightarrow{OR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

ここで、$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$とおくと、$\overrightarrow{OR}$はs, tの一次結合で表されるので、点Rは平行四辺形を描く。

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 4 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 4 \\ -1 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

面積 $| \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} | = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$

(3)

単位法線ベクトル $\overrightarrow{n} = \pm \frac{\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}}{| \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} |} = \pm \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} -1/\sqrt{14} \\ 3/\sqrt{14} \\ 2/\sqrt{14} \end{pmatrix}$

(4)

$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = -1 - 4 - 1 = -6$

体積 = $\frac{1}{3}|-6| = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OR} = \begin{pmatrix} -2-s-t \\ 2-s-3t \\ s+4t \end{pmatrix}$

(2) $\sqrt{14}$

(3) $\pm \begin{pmatrix} -1/\sqrt{14} \\ 3/\sqrt{14} \\ 2/\sqrt{14} \end{pmatrix}$

(4) 2