点A(2, 0), B(0, 3)と円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点Pがあるとき、三角形ABPの面積の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(2, 0), B(0, 3)と円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点Pがあるとき、三角形ABPの面積の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線ABの式を求めます。A(2, 0)とB(0, 3)を通る直線の式は、

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$

$3x + 2y = 6$

$3x + 2y - 6 = 0$

次に、原点から直線ABまでの距離を求めます。点(0, 0)から直線$3x + 2y - 6 = 0$までの距離dは、

$d = \frac{|3(0) + 2(0) - 6|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$

三角形ABPの面積は、底辺ABを固定すると、点Pから直線ABまでの距離に比例します。

したがって、三角形ABPの面積が最小になるのは、円$x^2 + y^2 = 1$上の点Pから直線ABまでの距離が最小になる時です。

円の中心(0, 0)から直線ABまでの距離は$d = \frac{6}{\sqrt{13}}$です。

円の半径は1なので、円上の点Pから直線ABまでの距離の最小値は、$\frac{6}{\sqrt{13}} - 1$となります。

線分ABの長さを計算します。

$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

三角形ABPの面積の最小値は、

$\frac{1}{2} \times AB \times (\frac{6}{\sqrt{13}} - 1) = \frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times (\frac{6}{\sqrt{13}} - 1) = \frac{1}{2}(6 - \sqrt{13})$

$= 3 - \frac{\sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

$3 - \frac{\sqrt{13}}{2}$