問題は3つのパートに分かれています。 * パート1: 与えられた三角形の2辺とその間の角から、三角形の面積を計算する。 * パート2: 与えられた三角形の角と辺の情報から、未知の辺の長さまたは外接円の半径を計算する。 * パート3: 与えられた三角形の辺と角の情報から、未知の辺の長さを計算する。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

* パート1: 与えられた三角形の2辺とその間の角から、三角形の面積を計算する。

* パート2: 与えられた三角形の角と辺の情報から、未知の辺の長さまたは外接円の半径を計算する。

* パート3: 与えられた三角形の辺と角の情報から、未知の辺の長さを計算する。

2. 解き方の手順

パート1:

* (1) 三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ で求められます。与えられた値を代入すると、$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

* (2) 三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ で求められます。与えられた値を代入すると、$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

パート2:

* (1) $\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$。正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。$a$を求めるため、$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$を使うと$a = b \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = b \cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2} = b\sqrt{2}$。問題文に$b$の値が記載されていないため、解けない。

* (2) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$。外接円の半径$R$を求めるには、$R = \frac{a}{2\sin A}$に与えられた値を代入します。$R = \frac{2\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$

パート3:

* (1) 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$。与えられた値を代入すると、$a^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$。したがって、$a = \sqrt{7}$

* (2) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。$b$を求めるには、$b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A}$を使います。$b = 2 \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin A} = 2 \cdot \frac{1/2}{\sin A} = \frac{1}{\sin A}$。正弦定理から$\frac{2}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}$となり、$\sin A=\frac{2\sin 30^\circ}{\sqrt{3}}=\frac{2(1/2)}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$となります。よって、$b = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

パート1:

* (1) $\sqrt{2}$

* (2) $3\sqrt{3}$

パート2:

* (1) 解けない

* (2) $2$

パート3:

* (1) $\sqrt{7}$

* (2) $\sqrt{3}$