斜面角が30°の斜面上に半径10cmの円柱を置いたとき、円柱が倒れないような円柱の高さの最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

斜面角が30°の斜面上に半径10cmの円柱を置いたとき、円柱が倒れないような円柱の高さの最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円柱が倒れない条件は、円柱の重心が斜面に垂直に下ろした線が、円柱の底面と斜面の接点を結ぶ線よりも上にあることです。

円柱の半径を $r$、高さを $h$ とします。

斜面の角度を $\theta$ とすると、$\theta = 30^\circ$ です。

円柱の重心は円柱の中心にあるので、底面から $h/2$ の高さにあります。

円柱が倒れない条件は、以下のようになります。

$\tan \theta = \frac{r}{h/2}$

したがって、

$h = \frac{2r}{\tan \theta}$

$r = 10cm$、$\theta = 30^\circ$ を代入すると、

$h = \frac{2 \times 10}{\tan 30^\circ} = \frac{20}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 20\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

円柱の高さの最大値は、$20\sqrt{3}$ cmです。

$20\sqrt{3} \approx 34.64$なので、約34.64cmとなります。