問題は以下の通りです。 [1] (1) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $b=2$, $C=45^\circ$ のときの面積を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=4$, $A=60^\circ$ のときの面積を求めよ。 [2] (1) $\triangle ABC$ において、$A=45^\circ$, $B=30^\circ$ で、$c=1$のとき、$a$ の値を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ において、$A=60^\circ$, $a=2\sqrt{3}$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めよ。 [3] (1) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=2$, $A=60^\circ$ のとき、$a$ の値を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $c=\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、$b$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

[1]

(1) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $b=2$, $C=45^\circ$ のときの面積を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=4$, $A=60^\circ$ のときの面積を求めよ。

[2]

(1) $\triangle ABC$ において、$A=45^\circ$, $B=30^\circ$ で、$c=1$のとき、$a$ の値を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ において、$A=60^\circ$, $a=2\sqrt{3}$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めよ。

[3]

(1) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=2$, $A=60^\circ$ のとき、$a$ の値を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $c=\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ のとき、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ で求められます。

$a=2$, $b=2$, $C=45^\circ$ を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(2) 面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ で求められます。

$b=3$, $c=4$, $A=60^\circ$ を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

[2]

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ が成り立ちます。$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$ です。

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{1}{\sin 105^\circ}$ より、

$a = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{2\sqrt{12}-4}{4} = \frac{4\sqrt{3}-4}{4} = \sqrt{3}-1$

(2) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$ が成り立ちます。

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$

[3]

(1) 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ が成り立ちます。

$a^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

$a = \sqrt{7}$

(2) 余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ が成り立ちます。

$b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - 6 = 1$

$b = 1$

3. 最終的な答え

[1]

(1) $\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{3}$

[2]

(1) $\sqrt{3}-1$

(2) $2$

[3]

(1) $\sqrt{7}$

(2) $1$