頂点が $(1, 2)$ であり、$x$軸から切り取る線分の長さが $4$ である放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

頂点が $(1, 2)$ であり、$x$軸から切り取る線分の長さが $4$ である放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線の頂点の座標が $(1, 2)$ であることから、放物線の方程式は $y = a(x-1)^2 + 2$ と表せる。ここで、$a$ は定数である。

次に、$x$軸から切り取る線分の長さが $4$ であるという条件から、$x$軸との交点を求める。$x$軸との交点では $y=0$ であるから、$a(x-1)^2 + 2 = 0$ を解く。

$a(x-1)^2 = -2$

$(x-1)^2 = -\frac{2}{a}$

$x-1 = \pm \sqrt{-\frac{2}{a}}$

$x = 1 \pm \sqrt{-\frac{2}{a}}$

$x$軸との交点が2つ存在し、それらを $x_1 = 1 + \sqrt{-\frac{2}{a}}$ と $x_2 = 1 - \sqrt{-\frac{2}{a}}$ とする。切り取る線分の長さは $|x_1 - x_2|$ であり、これが $4$ に等しい。

$|x_1 - x_2| = | (1 + \sqrt{-\frac{2}{a}}) - (1 - \sqrt{-\frac{2}{a}}) | = | 2\sqrt{-\frac{2}{a}} | = 4$

$\sqrt{-\frac{2}{a}} = 2$

$-\frac{2}{a} = 4$

$a = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、放物線の方程式は $y = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + 2$ となる。

これを展開すると、

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) + 2$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} + 2$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$