直角三角形の土地に内接する長方形ABCDを考えます。直角三角形の二辺の長さは30mと60mです。長方形の面積が400m²以上となるように、辺ABの長さの範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形の土地に内接する長方形ABCDを考えます。直角三角形の二辺の長さは30mと60mです。長方形の面積が400m²以上となるように、辺ABの長さの範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、辺ABの長さを$x$とおきます。

次に、長方形のもう一つの辺であるADの長さを$x$を用いて表します。

三角形ABCと三角形ADEは相似であるため、相似比を利用します。

$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$が成り立ちます。

ここで、$AC = 60$m, $BC = 30$m, $AB = x$なので、$AE = 60 - x$です。

したがって、$\frac{AD}{30} = \frac{60-x}{60}$ となります。

これをADについて解くと、$AD = \frac{30(60-x)}{60} = \frac{60-x}{2} = 30 - \frac{x}{2}$となります。

長方形の面積は$x \cdot AD$で表されるので、$x(30-\frac{x}{2}) = 30x - \frac{x^2}{2}$となります。

長方形の面積が400m²以上となる条件は、$30x - \frac{x^2}{2} \geq 400$です。

この不等式を解きます。

両辺を2倍して、$60x - x^2 \geq 800$

$x^2 - 60x + 800 \leq 0$

$(x-20)(x-40) \leq 0$

よって、$20 \leq x \leq 40$

したがって、辺ABの長さの範囲は20m以上40m以下となります。

3. 最終的な答え

20m以上40m以下