平行四辺形ABCDにおいて、頂点B, Dから対角線ACにそれぞれ垂線BE, DFを下ろす。このとき、四角形BFDEが平行四辺形であることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、頂点B, Dから対角線ACにそれぞれ垂線BE, DFを下ろす。このとき、四角形BFDEが平行四辺形であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の性質より、$AB = CD$、$AB \parallel CD$である。

(2) $AB \parallel CD$より、錯角は等しいので、$\angle BAC = \angle DCA$である。

(3) $\triangle ABE$と$\triangle CDF$において、

* $\angle AEB = \angle CFD = 90^\circ$

* $\angle BAE = \angle DCF$ （(2)より）

* $AB = CD$ （(1)より）

よって、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \equiv \triangle CDF$である。

(4) (3)より、$BE = DF$である。

(5) また、$BE \parallel DF$である（いずれもACに垂直だから）。

(6) したがって、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形BFDEは平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形BFDEは平行四辺形である。