直角三角形ABCにおいて、AB=2, BC=$\sqrt{3}$, AC=1のとき、sinCの値を求めます。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=2, BC=$\sqrt{3}$, AC=1のとき、sinCの値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、どの角が直角であるかを判断します。ピタゴラスの定理 $a^2 + b^2 = c^2$ を用いて、三角形が直角三角形であることを確認します。

$AC^2 + BC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$AB^2 = 2^2 = 4$

$AC^2 + BC^2 = AB^2$ となるため、角Cが直角です。

しかし、問題文の冒頭に「直角三角形ABCにおいて」と書いてあるため、問題文に誤りがある可能性があります。

仮に問題文通りに角Cが直角でないとすると、正弦定理を使用する必要があります。

正弦定理は、$a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C$ です。

ここでは、$\sin C$ を求めるために、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$ を使用します。

しかし、角Bが不明であるため、余弦定理を使用します。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos B$

$1^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2)(\sqrt{3}) \cos B$

$1 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cos B$

$1 = 7 - 4\sqrt{3} \cos B$

$4\sqrt{3} \cos B = 6$

$\cos B = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、B=30°です。

$\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin C} = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

$\frac{2}{\sin C} = 2$

$\sin C = \frac{2}{2} = 1$

この場合、C=90°となり、問題文の条件と矛盾しません。

$\sin C$は、直角三角形において、角Cの対辺の長さを斜辺の長さで割ったものです。

Cが直角なので、斜辺はABです。

Cの対辺はABなので、$\sin C = AB / AB = 1$となります。

問題文の条件から、角Cが直角である場合、$\sin C = 1$ となります。

しかし、$AC=1$、$BC=\sqrt{3}$なので、$\tan C = \sqrt{3} / 1 = \sqrt{3}$となります。これは $C = 60^\circ$ を意味し、矛盾が生じます。

問題文に誤りがあり、正しくは角Bが直角であると考えるのが自然です。その場合、斜辺はACとBCのどちらかになります。

もし角Bが直角であるとすれば、sinCは (対辺AB)/(斜辺AC) となり、 sinC=2/1=2 となりますが、これはありえません。

角Aが直角だとすると、sinC=(対辺AB)/(斜辺BC)=2/$\sqrt{3}$となりますが、これも正しくありません。

問題文に書いてある通りに、角Cが直角だとすると、$AB$が斜辺です。

$\sin C = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{AB}{AB}$ となります。これは角Cが直角なので、定義より$\sin 90^{\circ} = 1$となります。

3. 最終的な答え

sinC = 1