ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$、$\vec{b} = (-1, 3)$ が与えられ、$\vec{p} = (1-2t)\vec{a} + t\vec{b}$ とする。$t$ が $-1 \le t \le 1$ の範囲を動くとき、$|\vec{p}|$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$、$\vec{b} = (-1, 3)$ が与えられ、$\vec{p} = (1-2t)\vec{a} + t\vec{b}$ とする。$t$ が $-1 \le t \le 1$ の範囲を動くとき、$|\vec{p}|$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{p}$ を成分で表します。

$\vec{p} = (1-2t)(1, 2) + t(-1, 3) = (1-2t-t, 2-4t+3t) = (1-3t, 2-t)$

次に、$|\vec{p}|^2$ を計算します。

$|\vec{p}|^2 = (1-3t)^2 + (2-t)^2 = 1 - 6t + 9t^2 + 4 - 4t + t^2 = 10t^2 - 10t + 5 = 10(t^2 - t) + 5 = 10(t - \frac{1}{2})^2 - 10(\frac{1}{4}) + 5 = 10(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2}$

$|\vec{p}|^2 = 10(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2}$ は、$t = \frac{1}{2}$ で最小値 $\frac{5}{2}$ をとります。

$t$ の範囲は $-1 \le t \le 1$ であるので、$\frac{1}{2}$ はこの範囲に含まれます。したがって、 $|\vec{p}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ となります。

$t = -1$ のとき、$|\vec{p}|^2 = 10(-1 - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2} = 10(\frac{9}{4}) + \frac{5}{2} = \frac{90}{4} + \frac{10}{4} = \frac{100}{4} = 25$

$t = 1$ のとき、$|\vec{p}|^2 = 10(1 - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2} = 10(\frac{1}{4}) + \frac{5}{2} = \frac{10}{4} + \frac{10}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$t = -1$ のとき $|\vec{p}| = \sqrt{25} = 5$

$t = 1$ のとき $|\vec{p}| = \sqrt{5}$

したがって、最大値は $t = -1$ のときの $5$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 5

最小値: $\frac{\sqrt{10}}{2}$