正八角形ABCDEFGHの頂点から異なる3点を選んで三角形を作る。 (1) 作れる三角形の総数を求める。 (2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。 (3) 正八角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

1. 問題の内容

正八角形ABCDEFGHの頂点から異なる3点を選んで三角形を作る。

(1) 作れる三角形の総数を求める。

(2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。

(3) 正八角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の総数

8個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを求める。

組み合わせの公式は ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

この場合、$n=8$、$r=3$なので、

${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$。

(2) 1辺だけを共有する三角形の数

正八角形の辺は8つある。1つの辺を選んだとき、残りの頂点は6つ。

ただし、選んだ辺の両隣の頂点を選ぶと2辺を共有する三角形になるので、それらを除いた4つが選択可能。

したがって、$8 \times 4 = 32$。

(3) 辺を共有しない三角形の数

三角形の総数から、2辺を共有する三角形の数と1辺を共有する三角形の数を引けばよい。

2辺を共有する三角形は、各頂点に対して1つ存在するので、8個である。

したがって、辺を共有しない三角形の数は、$56 - 32 - 8 = 16$。

3. 最終的な答え

アイ: 56

ウエ: 32

オカ: 16