平面上に三角形$ABC$があり、$AB=10, BC=6, CA=8$である。外心を$O$、内心を$I$とする。$O$から$I$へのばした半直線と外接円との交点を$M$, $I$から$O$へのばした半直線と外接円との交点を$N$とする。 (1) 三角形$ABC$の外接円の半径$R$と内接円の半径$r$を求めよ。 (2) 線分$OI$の長さを求めよ。 (3) 線分$IM, IN$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

平面上に三角形$ABC$があり、$AB=10, BC=6, CA=8$である。外心を$O$、内心を$I$とする。$O$から$I$へのばした半直線と外接円との交点を$M$, $I$から$O$へのばした半直線と外接円との交点を$N$とする。

(1) 三角形$ABC$の外接円の半径$R$と内接円の半径$r$を求めよ。

(2) 線分$OI$の長さを求めよ。

(3) 線分$IM, IN$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $BC=6, CA=8, AB=10$より、$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$であるから、三角形$ABC$は$\angle C=90^\circ$の直角三角形である。

外接円の半径$R$は、斜辺の半分であるから、

$R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

内接円の半径$r$は、面積$S$と$S=r\frac{a+b+c}{2}$の関係から求める。

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$

$r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \times 24}{6+8+10} = \frac{48}{24} = 2$

(2) $OI^2 = R(R-2r)$という関係式を利用する。(オイラーの定理)

$OI^2 = 5(5-2 \times 2) = 5(5-4) = 5$

$OI = \sqrt{5}$

(3) 点$I$は三角形$ABC$の内心であるから、$AI$は$\angle BAC$の二等分線である。したがって、$\angle OAM = \angle IAM$である。

$IM = IA = \frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}}$

$\sin{A} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\cos{A} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\cos{A} = 1-2\sin^2{\frac{A}{2}}$より

$\frac{4}{5} = 1-2\sin^2{\frac{A}{2}}$

$2\sin^2{\frac{A}{2}} = 1-\frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$\sin^2{\frac{A}{2}} = \frac{1}{10}$

$\sin{\frac{A}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

したがって、$IM = IA = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = 2\sqrt{10}$

また、$IN=ON-OI$より、$ON = R = 5$なので、$IN = 5-\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $R=5, r=2$

(2) $OI = \sqrt{5}$

(3) $IM = 2\sqrt{10}, IN = 5-\sqrt{5}$