座標平面上の直線 $l: x + y = 2$ 上に点 $P$ がある。原点 $O$ から始まる半直線 $OP$ 上に、 $OP \cdot OQ = 1$ となるように点 $Q$ をとる。点 $P$ が直線 $l$ 上を動くとき、点 $Q$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の直線 $l: x + y = 2$ 上に点 $P$ がある。原点 $O$ から始まる半直線 $OP$ 上に、 $OP \cdot OQ = 1$ となるように点 $Q$ をとる。点 $P$ が直線 $l$ 上を動くとき、点 $Q$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x_1, y_1)$、点 $Q$ の座標を $(x, y)$ とする。

点 $P$ は直線 $x + y = 2$ 上にあるので、

$x_1 + y_1 = 2$ が成り立つ。

また、$OP \cdot OQ = 1$ であるから、$OP = |OP|$ および $OQ = |OQ|$ とすると、

$|OP| \cdot |OQ| = 1$ が成り立つ。

$|OP| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

$|OQ| = \sqrt{x^2 + y^2}$

であるから、

$\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 1$

となる。

点 $Q$ は半直線 $OP$ 上にあるので、点 $Q$ の座標 $(x, y)$ は点 $P$ の座標 $(x_1, y_1)$ の実数倍で表せる。

すなわち、$x_1 = kx$, $y_1 = ky$ となる実数 $k$ が存在する。

ここで、$k > 0$ である。

$x_1 + y_1 = 2$ より、$kx + ky = 2$

すなわち、$k(x + y) = 2$

よって、$k = \frac{2}{x+y}$

$\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x^2 + y^2} = 1$ より、

$\sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} \sqrt{x^2 + y^2} = 1$

$\sqrt{k^2(x^2 + y^2)} \sqrt{x^2 + y^2} = 1$

$k(x^2 + y^2) = 1$

$k = \frac{1}{x^2 + y^2}$

$k = \frac{2}{x+y}$ と $k = \frac{1}{x^2 + y^2}$ より、

$\frac{2}{x+y} = \frac{1}{x^2 + y^2}$

$2(x^2 + y^2) = x + y$

$2x^2 + 2y^2 - x - y = 0$

$2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 2(y^2 - \frac{1}{2}y) = 0$

$2(x - \frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{16}) + 2(y - \frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{16}) = 0$

$2(x - \frac{1}{4})^2 + 2(y - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$

$(x - \frac{1}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8}$

これは中心 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$、半径 $\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ の円を表す。

ここで、$k > 0$ より $x + y > 0$ が必要である。

円 $(x - \frac{1}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8}$ の中心は $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ であり、$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} > 0$ である。

$x + y = 0$ は原点を通る直線であり、原点から離れた円の一部分になる。

3. 最終的な答え

$(x - \frac{1}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8}$ ただし、$x + y > 0$

言い換えると、中心$(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$, 半径 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ の円のうち、$x + y > 0$ を満たす部分。